Ряды Фурье Рядом Фурье для повторяющейся с периодом 2
Учебные материалы


Ряды Фурье Рядом Фурье для периодической с периодом 2



Карта сайта prishletsov.ru

3.5. Ряды Фурье


Рядом Фурье для периодической с периодом 2? функции f(x), интегрируемой на отрезке [–?; ?], называется тригонометрический ряд
,
коэффициенты которого определяются по формулам
,
Условия представимости данной функции рядом Фурье и следствия данного разложения оговариваются следующей теоремой.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье (теорема Дирихле):
1. Если функция f(x) периода 2? имеет на отрезке [–?; ?] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на нем, то эта функция разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке, в которой она дифференцируема.
2. Если функция f(x) периода 2? удовлетворяет условию Дирихле на отрезке [–?; ?] (если этот отрезок может быть разбит на конечное число частей так, что внутри каждой части функция монотонна и ограничена), то эта функция разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке непрерывности; если же х – точка разрыва, ряд Фурье сходится к числу
.
Замечание. Справочный материал по разложению в ряд Фурье четных и нечетных функций периода , функций, заданных на полупериоде, и функций с периодом приведен в решениях примеров 2–5.

Типовые примеры и их решения


Пример 1.

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в интервале (–?; ?) выражением (рис. 10):

Решение.

Данный пример на разложение функции периода 2? в ряд Фурье.
Из определения данной функции f(x) следует, что она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому заданная функция разлагается в свой ряд Фурье.
Рис. 52
Подсчет коэффициентов Фурье дает:
,


,
поэтому
.

Пример 2.

Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение.

Эта непрерывная функция удовлетворяет условиям теоремы о разложимости, и следовательно, разлагается в свой ряд Фурье. Функция четная и ряд Фурье не содержит членов с синусами; этот ряд имеет вид
,
где , .
Подсчет коэффициентов Фурье дает:
.



следовательно,
.

Пример 3.

Разложить в ряд Фурье функцию периода 2? (рис. 53)
(–? ? x ? ?).

Решение

. Эта разрывная функция удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье и нечетна , поэтому ,
где
. Следовательно .

Пример 4.

Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию на (0; ?).

Решение.

Функцию, заданную на полупериоде (0; ?), можно разложить в ряд синусов или косинусов, продолжая на второй полупериод (–? ;0) соответственно нечетным или четным образом.
Продолжая эту функцию четным образом, будем иметь
,
(n = 1, 2, 3, ...).
n = 1,
.
n?1,


.
Продолженная функция f(x), очевидно, удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому
.

Пример 5.

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = |x| – 5 с периодом 4, заданную на интервале-периоде (–2; 2).

Решение.

Пусть f(x) – функция с периодом 2l. Разложение функции f(x) в ряд Фурье, когда оно возможно, имеет вид
,
коэффициенты которого определяются по формулам
, , .
Если функция f(x) четная, то
; , .
Если функция f(x) нечетная, то
, .
Заданная функция четная с периодом 2l=4, поэтому
,

Данная функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому
.
  1. Заключение


В заключение отметим, что настоящее пособие входит в комплект пособий по курсу высшей математики.
В пособии подробно изложены практически все часто используемые методы решения задач части курса высшей математики (неопределенный и определенный интегралы; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; элементы теории поля; дифференциальные уравнения и системы; числовые и функциональные ряды; ряды Фурье). В ряде случаев, при разборе конкретных примеров, приводится, возможно, не самое короткое и изящное решение задачи. Это объясняется, прежде всего тем, что при разборе примера автор в первую очередь стремился дать наглядное применение предложенного метода, а вовсе не продемонстрировать примеры нестандартных подходов к решению различных задач. Приведенные решения также могут служить иллюстрацией правильного оформления решения задач.
Пособие может быть использовано студентами заочной и дневной форм обучения.

ОГЛАВЛЕНИЕ



ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………………


  1. 3


Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ……………………


  1. 4


1.1. Неопределенный интеграл ……………………………………..
  1. 4


Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 7


1.2. Определенный и несобственный интегралы …………………...

20

Типовые примеры и их решения ……………………………….

27

1.3. Кратные интегралы ……………………………………………..

36

Типовые примеры и их решения ……………………………….

49

1.4. Криволинейные и поверхностные интегралы.
Элементы теории поля …………………………………………..

63

Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 75


Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ……………………………


  1. 91


2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ……………...
  1. 91


Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 93


2.2. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающих понижение порядка …………………………….

105

Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 105


2.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами ………………..

108

Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 109


2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами ……………….

110

Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 112


2.5. Метод Лангранжа
(метод вариации произвольных постоянных) …………………

114

Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 115


2.6. Системы дифференциальных уравнений ………………………
  1. 116


Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 118


Глава 3. РЯДЫ ……………………………………………………………………...


  1. 122


3.1. Числовые ряды ………………………………………………….
  1. 122


Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 125


3.2. Функциональные ряды ………………………………………….
  1. 134


Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 135


3.3. Степенные ряды ………………………………………………..
  1. 138


Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 140


3.4. Приложения степенных рядов к интегрированию
дифференциальных уравнений и приближенным вычислениям

150

Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 152


3.5. Ряды Фурье ……………………………………………………...
  1. 155


Типовые примеры и их решения ……………………………….
  1. 156


ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………


  1. 162


АРЕФЬЕВ Владимир Петрович


^ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Часть 2


Неопределенный и определенный интегралы
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Элементы теории поля
Дифференциальные уравнения и системы
Числовые и функциональные ряды
Ряды Фурье
Учебное пособие
Редактор А. А. Цыганкова
Верстка Л. А. Егорова

Подписано к печати Формат 60×84/16.
Бумага «Классика».
Печать RISO. Усл.печ.л. 9,53. Уч.-изд.л. 8,63.
Заказ . Тираж экз.


Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета
сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE
по стандарту ISO 9001:2000


. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.





edu 2018 год. Все права принадлежат их авторам! Главная